定义:给定代数系统，其中＋和都是二元运算，如果满足以下条件 (1)是交换群。 通常将＋称为环中的加法运算，称为环中的乘法运算。加法群中的幺元用0表示，a的加法逆元用－a表示。若中 存在幺元，用1表示，若a的乘法逆元存在，则用a －1 表示。 (1)整数集、有理数集和实数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z、有理数环Q和实数环R。 (2)系数属于实数的所有多项式组成的集合记为R[x]，那么 R[x]关于多项式的加法与乘法构成环。 (3)元素属于实数的所有n阶矩阵组成的集合关于矩阵的加 法与乘法构成环。 (4)模m的剩余类集合Z 构成一个环，叫作剩余类环。定理: 证明(1)因为a0＋a0＝a(0＋0)＝a0＝a0＋0卡盟，所以由消去 律可得a0＝0。同理可证，0a＝0 abac baca abab ＝ba－ca。定义: 给定环，则 (1)若是可交换半群，称是可交换环。 (3)若满足幂等律，称是布尔环。定理:设R为有单位元的环，且不只含一个元素，则1不等于0 反证法：若1＝0，则a=a*1=a*0=0 零因子:若存在a、bS且a0、b0满足ab＝0，称环为含零因子环， 不为素数，则Z中必存在零因子 0,于是a(x－y)=0,因而x－y＝0，即x＝y。
另一式:xa＝yax＝y同理可得。 整环：有单位元无零因子的交换环是整环例：对于剩余环有幺,可交换,且无零因子(群有消去律,由前面定理知:有消去律无零因子)。 推论有限整环必定是域。 推论：设P为素数，则是环，T是S的非空子集。若T关于＋ 和运算也构成环，则称为的子环。 例:整数环Z、有理数环Q都是实数环R的子环。｛0｝和R 也是实数环R的子环，称为平凡子环。 定理：(子环判定定理)设是环，T是S的非空子 是的子环。例：偶数环2Z 是整数环Z的子环 定义：设为的子环，若对于T中 为环的理想。定理：给定环，T是S的非空子集，则为环的理想，其中(i)＝{ni|nZ}。其中，＋和是普通的加法和乘法。 证明 对任意的mi、ni(i)及kZ，则mi－ni＝(m－n)i(i)， (mi)(ni)＝(mni)i(i)，k(ni)＝(kn)i(i)。所以，为环的理想。 定义：（1) 设为环的理想，若在T中 环的主理想，并称g为的生成元或称由g生成。 (2)设R是一个整环，如果R的每个理想都是主理想， 则称R为主理想整环 使得L＝(i)。即的每个理想都是主理想。证明 显然Z＝(1)，{0}＝(0)，因此两个平凡理想和都是主理想。
令为的任一真理想证明布尔环是可换环，i为L中最小 正整数，下证L＝(i)。 因为为的理想且iL，所以对 于任意ni(i)，有niL，故(i)L。 为qi、kL，由理想的定义得r＝k－qiL。考虑到i为L中的最小正整数和0r＜i，则r＝0。故k＝qi(i)证明布尔环是可换环，因此L(i)。 综上可得，L＝(i)。所以，是 的主理想。 (2)如果中非零元素的周期为有限数p，则p必为素数 定理：设S是F的子域，则S与F具有相同的特征 故1在F中的周期为p,且p|n，又因为F的特征为p，所以，p为素数 定理：若域的特征为素数 中必存在与同构的子域 证明：设 因为的加法周期为 为同构由于 是域，所以 neme 与有理数域Q同构的子域证明：用e标识F的单位元 练习证明在特征为 的有限域 中，映射
