17. 20.证明阶数为p2 换群，其中p为素数。 21. 的阶是有限的}。证明习题 外不含阶为有限的元素。22. 必为交换群。23. -11g1g2g1g2H。24. 的元素。25. axa－1 的自同构映射，称之为G的内自同构。G 自同构的全体构成G的自同构群的不变子群。 aK。27. 证明除零 同态之外，不存在〈Q，+〉到〈I，+〉的群同态映射。 28. 的子群。试证：如果A 的自同构。30. 任意xG，必有 xmH。 31. 证明在同构的意义下只有两 32.证明：在同构 的意义下只有两个不同的10 定理若〈R，+，〉是环，则下列条件等价： 定理 有限整环都是域。 定理 体仅有零理想和单位理想。 定理 +，〉的理想。若在R/D上定义二元运算与如下： r1，r2R r1，r2R 是〈R，+，〉的理想。~,~定理 设D1和D2 都是环〈R，+，〉的理想。若D2 D1， 则D1/D2 是R/D2 的理想，并且 /D1例13 为素数，则为〈I，+，〉的极大理想。 定理 是〈R，+，〉的极大理想。例14 为素数。习题 对于乘法来说，每个元素都是幂等元的环称为布尔环。证明以下结论。 Z2和Z2Z2 都是布尔环。
布尔环必为交换环。 也是〈R，+，〉的理想。 若〈R，+，〉是环，并且〈R，+〉是循环群，则〈R，+，〉是交换环。 上定义运算和如下： 证明〈R，，〉与〈R，+，〉同构。 求出〈N6，+6，6〉，〈N8，+8，8〉，〈N12，+1212〉的所有子环和理想。 D1和D2 是环〈R，+，〉的理想，证明D1 D2也是〈R， +，〉的理想，其中D1 d1D1且d2 D2 证明两个域的积代数结构不可能是域。10. 上二阶方阵的环，A是元素为偶数的所有二阶方 阵组成的集合。证明 找出Zm到Zr 12.找出环〈I，+，〉的 所有自同态，并求每个自同态的核。 13. 有右逆元。证明关于u的下述 条件是等价的： 是左零因子。15. 设环〈R，+，〉的每一个左理想都有 左么元，试证〈R，+证明布尔环是可换环，〉的每一个左理想都有么元。 16. 是〈R，+，〉仅有的两个左理想，证明〈R，+，〉是体。17. 之理想。证明： +，〉到〈S，，*〉的环同态，H1和H2 均为R 之子环，且 包含Ker f。证明：若f (H1) 20.含么环不可能与任何不含么元的环同构。 习题 证明x2+1 是GF 是GF(p)上互素的多项式，则它们 在GF 证明：有理数域〈Q，＋，〉的自同构映射只有一个。
是其零元。证明定理 pn 阶域的元素都是多项式xpx 定理有限域的乘法群必为循环群。 定理 设域〈F，＋，〉的特征为p。如果 nai1mi0。第四章 定理 且abaciii） b}，证明〈S，〉也是格。定义 如果集合 上的两个二元运算*和满足交换律、结合律、吸收律，则称代数系统〈L，*。 定理 定义和 定义 定义 －１ii） 定理设〈L，*，〉和〈S，，〉是两个格，其中 的半序关系分别为和′，则L 证明群〈G，〉的不变子群集合是G的子群格的子格， 并证明两个不变子群N 和N2 的最小上界是N1N2 画出24 阶循环群的子群格的图，并证明它同构于 〈S24，D〉。 画出C6和C8 p1p2 时，C2n 的理想。证明： 的理想必为S的子格，但S 的子格不一定是S [A]是不是S′的子格？f[J]是不是S′的理想？ 定义 设〈L，*，〉是格。如果对于任意 定理格〈L，*，〉是模格的充要条件是不含如下形式 的子格： 定理 定理 格〈L，*，〉是分配格的充要条件是：对于任意 定理模格〈L，*，〉是分配格的充要条件是不含如下 形式的子格 10 求出格〈S75，D〉中每个元素的补元。 试证明：在有一个以上元素的格中，不会有元素是它本身的补元。
